Question

14．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均正數(shù)，記A（n）是其前n項(xiàng)的積，B（n）是從第二項(xiàng)開始往后n項(xiàng)的積，C（n）是從第三項(xiàng)開始往后n項(xiàng)的積，n=1，2，…．若a₁=1，a₂=2，且對(duì)任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 由題意易得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{2}}$，進(jìn)而可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得通項(xiàng)公式．

解答 解：由題意，對(duì)任意n∈N^*，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等比數(shù)列，
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{2}}$，
因?yàn)閍₁=1，a₂=2，
所以$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以a_n=2^n-1．
故答案為：a_n=2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．