Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
則f′（2）=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，f（2）=2-1-ln2=1-ln2，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-（1-ln2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
即y=（1-ln2）+$\frac{1}{2}$（x-2）=$\frac{1}{2}$x-ln2；
（2）∵f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
∴由f′（x）＞0得x＞1，此時(shí)函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=1-1-ln1=0，無極小值．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)切線的求解，以及函數(shù)極值的求解，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．