Question

17．已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-a}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，-a），若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA||PB|=2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，直線(xiàn)l的參數(shù)方程中消去參數(shù)t，能求出直線(xiàn)l的普通方程．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-a=0}\end{array}\right.$，得：2x²-（2a+2）x+a²=0，由此利用韋達(dá)定理能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0．
∵直線(xiàn)l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=t-a}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線(xiàn)l的普通方程為x-y-a=0．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\\{x-y-a=0}\end{array}\right.$，消去y，得：2x²-（2a+2）x+a²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=a+1，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=（x₁，y₁+a）=（x₁，x₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂，y₂+a）=（x₂，x₂），
∵|PA||PB|=2，∴$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=2x₁x₂=a²=2，解得a=$±\sqrt{2}$．（舍a=-$\sqrt{2}$）
∴實(shí)數(shù)a的值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．