Question

7．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（$\frac{8}{π}$x+1）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，求出A、T、ω與φ的值即可；
（Ⅱ）寫(xiě)出函數(shù)f（$\frac{8}{π}$x+1）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），
∴A=4，$\frac{T}{2}$=6-（-2）=8，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=16，
解得ω=$\frac{π}{8}$；
又當(dāng)x=6時(shí)，ωx+φ=$\frac{π}{8}$×6+φ=2kπ，k∈Z；
令k=0，解得φ=-$\frac{3π}{4}$；
∴f（x）=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（$\frac{8}{π}$x+1）=4sin[$\frac{π}{8}$（$\frac{8}{π}$x+1）-$\frac{3π}{4}$]
=4sin（x-$\frac{5π}{8}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{5π}{8}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得$\frac{π}{8}$+2kπ≤x≤$\frac{9π}{8}$+2kπ，k∈Z；
∴f（$\frac{8}{π}$x+1）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$\frac{π}{8}$+2kπ，$\frac{9π}{8}$+2kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．