Question

5．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4＜0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，則$z=\frac{y+2}{x-1}$的取值范圍為（　　）

• A． $（-∞，-4）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• B． $（-∞，-2）∪（\frac{2}{3}，+∞）$
• C． $（-2，\frac{2}{3}）$
• D． $（-4，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，然后利用$z=\frac{y+2}{x-1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)P（1，-2）兩點(diǎn)直線的斜率，求解z的范圍．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域OBC．
∵$z=\frac{y+2}{x-1}$，
∴z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)P（1，-2）兩點(diǎn)直線的斜率．
∴由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C時(shí)，斜率為正值中的最小值，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，O時(shí)，直線斜率為負(fù)值中的最大值．
由題意知C（4，0），∴k_OP=-2，k_PC=$\frac{-2-0}{1-4}$=$\frac{2}{3}$，
∴$z=\frac{y+2}{x-1}$的取值范圍為z＞$\frac{2}{3}$或z＜-2，
即（-∞，-2）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵是理解$z=\frac{y+2}{x-1}$的幾何意義，是中檔題．