Question

10．已知雙曲線的一個焦點與拋物線x²=24y的焦點重合，一條漸近線的傾斜角為30°，則該雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求得漸近線方程和a，b，c的關(guān)系，解方程即可得到所求．

解答 解：拋物線x²=24y的焦點為（0，6），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
即有c=6，即a²+b²=36，
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得tan30°=$\frac{a}$，即為b=$\sqrt{3}$a，
解得a=3，b=3$\sqrt{3}$，
即有雙曲線的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{27}=1$．

點評 本題考查拋物線的焦點的運用，考查雙曲線的方程的求法和漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．