Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，且當x$∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）的最小值為2．
（1）求a的值，并求（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{2}$，再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=4在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得a的值．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的圖象可得sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$，由此求得它在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根，從而得出結(jié)論

解答 解：（1）當x$∈[0，\frac{π}{2}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，
函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1的最小值為-1+a+1=2，∴a=2．
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{2}$，
可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+3的圖象；
再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）+3=2sin（x+$\frac{π}{12}$）+3的圖象，
方程g（x）=4在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和，
即方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．
而方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根滿足x+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{12}$，
故方程 sin（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和為$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．