Question

6．（Ⅰ）化簡$\frac{{tan（\frac{π}{4}+α）•cos2α}}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-α）}}$；
（Ⅱ）已知點P（cosθ，sinθ）在直線y=-2x上，求$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先切化弦，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式及誘導(dǎo)公式即可化簡求值．
（Ⅱ）由題意得tanα的值，利用倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡后代人即可求值．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）原式=$\frac{{\frac{{sin（\frac{π}{4}+α）}}{{cos（\frac{π}{4}+α）}}•cos2α}}{{2{{sin}^2}（\frac{π}{4}+α）}}$=$\frac{cos2α}{{2sin（\frac{π}{4}+α）cos（\frac{π}{4}+α）}}$…（2分）
=$\frac{cos2α}{{sin（\frac{π}{2}+2α）}}$…（4分）
=$\frac{cos2α}{cos2α}=1$．…（6分）
（Ⅱ）由題意得sinθ=-2cosθ，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-2．…（7分）
∴$\frac{1+sin2θ-cos2θ}{1+sin2θ+cos2θ}=\frac{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ+2sinθcosθ-（{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ）}}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ+2sinθcosθ+（{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ）}}$…（9分）
=$\frac{{2{{sin}^2}θ+2sinθcosθ}}{{2{{cos}^2}θ+2sinθcosθ}}$=$\frac{{{{tan}^2}θ+tanθ}}{1+tanθ}$…（11分）
=tanθ=-2．…（12分）
（改編自必修4第143頁第三章習(xí)題3.2第1題第（8）小題）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，技巧性較強，屬于基礎(chǔ)題．