Question

4．已知圓M的圓心在x軸上，半徑為1，直線l：y=3x-1被圓M所截得的弦長為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，且圓心M在直線l的下方．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，t），B（0，t+4）（-3≤t≤-1），過A，B兩點(diǎn)分別做圓M的一條切線，相交于點(diǎn)C，求由此得到的△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心M（a，0），利用M到l：y=3x-1的距離，結(jié)合直線l被圓M所截得的弦長為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，求出M坐標(biāo)，然后求圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)出過A，B的切線方程，由相切的條件：d=r，求得直線AC、直線BC的方程，進(jìn)而得到C的坐標(biāo)，求出△ABC的面積S的表達(dá)式，由二次函數(shù)是最值求出面積的最值，從而得解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（a，0）由題設(shè)知，M到直線l的距離是d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{10}}$，
l被圓M所截得的弦長為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，則2$\sqrt{1-vewdvnc^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，解得d=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由$\frac{|3a-1|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得a=1或-$\frac{1}{3}$，
由圓心M在直線l的下方，則a=1，
即所求圓M的方程為（x-1）²+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)過A（0，t）的切線為y=kx+t，
由直線和圓相切的條件：d=r=1，
可得$\frac{|k+t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$，
即切線方程為y=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$x+t①
同理可得過B的切線方程為y=$\frac{1-（t+4）^{2}}{2（t+4）}$x+t+4②，
由①②解得交點(diǎn)C（$\frac{2t（t+4）}{{t}^{2}+4t+1}$，$\frac{2t+4}{{t}^{2}+4t+1}$），
由-3≤t≤-1，則1≤4+t≤3，t+$\frac{1}{t}$+4∈[$\frac{2}{3}$，2]，
又|AB|=4+t-t=4，
則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{2t（t+4）}{{t}^{2}+4t+1}$=4$•\frac{{t}^{2}+4t}{{t}^{2}+4t+1}$
=4（1-$\frac{1}{{t}^{2}+4t+1}$），
由-3≤t≤-1，可得t²+4t+1=（t+2）²-3∈[-3，-2]，
則當(dāng)t=-2時(shí)，△ABC的面積S取得最小值，且為$\frac{16}{3}$；
當(dāng)t=-1或-3時(shí)，S取得最大值，且為6．

點(diǎn)評(píng) 本題以圓的弦長為載體，考查直線與圓的位置關(guān)系：相切，三角形面積的最值的求法，考查計(jì)算能力．