Question

15．在對于實數(shù)x，[x]表示不超過的最大整數(shù)，觀察下列等式：
[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=3
[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=10
[$\sqrt{9}$]$+[\sqrt{10}]+[\sqrt{11}]+[\sqrt{12}]$+[$\sqrt{13}$]+[$\sqrt{14}$]+[$\sqrt{15}$]=21
按照此規(guī)律第n個等式為[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．

Answer 1

分析 [x]表示不超過x的最大整數(shù)，分別研究等式的左邊和右邊，歸納出規(guī)律即可求出第n個等式的等號右邊的結果．

解答 解：因為[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
所以[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=1，[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=2，…，
因為等式：[$\sqrt{1}$]+[$\sqrt{2}$]+[$\sqrt{3}$]=3
[$\sqrt{4}$]+[$\sqrt{5}$]+[$\sqrt{6}$]+[$\sqrt{7}$]+[$\sqrt{8}$]=10
[$\sqrt{9}$]$+[\sqrt{10}]+[\sqrt{11}]+[\sqrt{12}]$+[$\sqrt{13}$]+[$\sqrt{14}$]+[$\sqrt{15}$]=21，
…，
所以第1個式子的左邊有3項、右邊1+1+1=1×3=3，
第2個式子的左邊有5項、右邊2+2+2+2+2=2×5=10，
第3個式子的左邊有7項、右邊3×7=21，
則第n個式子的左邊有（2n+1）項、右邊=n（2n+1）=2n²+n，即[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．
故答案為：[$\sqrt{{n}^{2}}$]+[$\sqrt{{n}^{2}+1}$]+…+[$\sqrt{{n}^{2}+2n}$]=2n²+n．

點評 本題考查了歸納推理，難點在于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，考查觀察、分析、歸納能力．