Question

5．H為銳角三角形ABC的垂心，在線段CH上任取一點E，延長CH到F，使HF=CE，作FD⊥BC，EG⊥BH，其中D，G為垂足，M是線段CF的中點，O₁，O₂分別△ABG，△BCH的外接圓圓心，⊙O₁，⊙O₂的另一交點為N；證明：
（1）A，B，D，G四點共圓；
（2）O₁，O₂，M，N四點共圓．

Answer 1

分析 （1）設(shè)EG∩DF=K，連接AH，可得△CAH≌△EKF，進而AH與KF平行且相等，進而∠KAB=90°=∠KDB=∠KGB，故A，B，D，G四點共圓；
（2）由（1）得：BK為圓O₁的直徑，作圓O₂的直徑BP，連接CP，KP，HP，O₁O₂，可得O₁，O₂，M分別是△KBP三邊的中點，進而可得四邊形O₁O₂MN為梯形，故O₁，O₂，M，N四點共圓．

解答 證明：（1）如圖，設(shè)EG∩DF=K，連接AH，

∵AC⊥BH，EK⊥BH，AH⊥BC，KF⊥BC，
∴AC∥EK，AH∥KF，且CH=EF，
∴△CAH≌△EKF，
∴AH與KF平行且相等，
故AK∥HF，
∴∠KAB=90°=∠KDB=∠KGB，
∴A，B，D，G四點共圓；
（2）由（1）得：BK為圓O₁的直徑，作圓O₂的直徑BP，連接CP，KP，HP，O₁O₂，

則∠BCP=∠BHP=90°，
∴CP∥AH，HP∥AC，
故AHPC為平行四邊形，
進而PC=KF，且PC∥KF，
故KP與CF互相平分于M，
故O₁，O₂，M分別是△KBP三邊的中點，
∴KM∥O₁O₂，
而由∠KNB=90°，O₁O₂⊥KN，
∴N，M，K三點共線，
∴MN∥O₁O₂，
根據(jù)三角形中位線定理可得：
MO₂=O₁B=O₁N，
因此四邊形O₁O₂MN為梯形．
故O₁，O₂，M，N四點共圓．

點評 本題考查的知識點是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，本題輔助線添加比較難想到，而且轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．