Question

3．已知y=f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x
（1）求f（x）的解析式；   
（2）若f（a）=$-\frac{3}{4}$，求a的值所組成的集合．

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，由已知中當x≥0時，f（x）=x²-2x，及函數f（x）是定義在R上的偶函數，可求出當x＜0時函數的解析式，進而得到答案．
（2）利用f（a）=$-\frac{3}{4}$，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由x≥0時，f（x）=x²-2x，
當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=x²+2x
又函數f（x）為偶函數，
∴f（x）=x²+2x-------------3’
故函數的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x≥0\\{x}^{2}+2x，x＜0\end{array}\right.$--------4’
（2）由函數的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，x≥0\\{x}^{2}+2x，x＜0\end{array}\right.$，可知，
當a≥0時，a²-2a=$-\frac{3}{4}$，解得a=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；
當a＜0時，a²+2a=$-\frac{3}{4}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$；
a的值所組成的集合：{$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$}．

點評 本題考查的知識點是函數解析式的求法，函數的零點與方程根的關系，難度中檔．