Question

14．一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為$\sqrt{2}$，體積為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖，然后根據(jù)正視圖的定義得到正四棱錐的正視圖，然后求面積體積即可．

解答 解：由正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖如圖：
則該正四棱錐的正視圖為三角形PEF，（E，F(xiàn)分別為AD．BC的中點(diǎn)）
∵正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，
∴PB=PC=2，EF=AB=2，PF=$\sqrt{3}$，
∴PO=$\sqrt{P{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$
∴該正四棱錐的正視圖的面積為$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$；
正四棱錐的體積為$\frac{1}{3}$×2×2×$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三視圖的應(yīng)用，利用俯視圖得到正四棱錐的直觀圖是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．