Question

如圖：港口A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31n mile，該輪船從B處沿正西方向航行20n mile后到D處，測得CD為21n mile．
（1）求cos∠BDC和sin∠ACD．
（2）問此時輪船離港口A還有多遠？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理，可求cos∠CDB，從而求出sin∠ACD；
（2）在△ACD中，由正弦定理知，

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，可求AD．

解答： 解：（1）由條件知∠A=60°，在△BCD中，由余弦定理，得：
cos∠BDC=

CD2+BD2-BC2

2CD•BD

=-

1

7

…（2分）
所以sin∠BDC=

4 3

7

．…（3分）sin∠ACD=sin(∠BDC-

π

3

)=sin∠BDCcos

π

3

-cos∠BDCsin

π

3

=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．…（6分）
（2）在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，所以AD=

CD•sin∠ACD

sinA

=15n mile．
答：此時輪船離港口還有15 n mile．…（10分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內角和定理在實際中的應用，解決實際的問題的關鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉化成數(shù)學圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應的公式來解決問題．