Question

5．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}$，則z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 解：設(shè)m=2x-y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，要求z的最小值，則等價(jià)為求m的最大值．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
設(shè)m=2x-y，要求z的最小值，則等價(jià)為求m的最大值．
由m=2x-y，得y=2x-m，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域（陰影部分），
平移直線y=2x-m，由平移可知當(dāng)直線y=2x-m，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=2x-m的截距最小，此時(shí)z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，得C（1，0），
代入m=2x-y，得m=2×1-0=2，
即目標(biāo)函數(shù)z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值z(mì)=（$\frac{1}{2}$）^-2=$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．