Question

10．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asinB=-bsin（A+$\frac{π}{3}$）．
（1）求A；
（2）若△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可計(jì)算求解A的值．
（2）由（1）可求sinA=$\frac{1}{2}$，利用三角形面積公式可求b=$\sqrt{3}c$，利用余弦定理可求a=$\sqrt{7}c$，由正弦定理即可計(jì)算求解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵asinB=-bsin（A+$\frac{π}{3}$）．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=-sinBsin（A+$\frac{π}{3}$）．即：sinA=-sin（A+$\frac{π}{3}$）．
可得：sinA=-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA，化簡(jiǎn)可得：tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{5π}{6}$…6分
（2）∵A=$\frac{5π}{6}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵由S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc，可得：b=$\sqrt{3}c$，
∴a²=b²+c²-2bccosA=7c²，可得：a=$\sqrt{7}c$，
由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}=\frac{\sqrt{7}}{14}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．