Question

3．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)，G分別是DD₁，BD，BB₁的中點．
（1）求證：EF⊥CF；
（2）求$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{CG}$所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示的空間直有坐標系求解$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），運用數(shù)量積證明即可．
（2）運用公式COS＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{CG}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CG}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{CG}|}$=，求解夾角即可．

解答 （1）證明：建立如圖所示的空間直有坐標系D-xyz，（1分）
則D（0，0，0），E（0，0，$\frac{1}{2}$），C（0，1，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），G（1，1，$\frac{1}{2}$）        
所以$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{CG}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$）．（4分）  因為$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}×$（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）×0=0，
所以$\overrightarrow{EF}$⊥$\overrightarrow{CF}$，
即EF⊥CF．                                          
（2）解：因為$\overrightarrow{EF}$$•\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}×1$$+\frac{1}{2}×0$+（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$
|$\overrightarrow{EF}$|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\overrightarrow{CG}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$                              
所以COS＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{CG}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{CG}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{CG}|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$

點評 本題考察了運用空間坐標系解決空間直線的位置關(guān)系，解決空間直線的夾角問題，屬于中檔題，關(guān)鍵是準確求解坐標，計算長度，數(shù)量積．