Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• B． $[{\frac{1}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• D． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$

Answer 1

分析 當(dāng)動點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動時，P對兩個焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當(dāng)動點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動時，P對兩個焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：
∵存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤$\sqrt{3}$OF₂，即b≤$\sqrt{3}$c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{1}{2}≤e＜1$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．