Question

2．已知過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦點F₂的直線y=$\sqrt{3}$（x-c）與雙曲線在第一象限交于點A，點F₁為左焦點，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐標，代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，|F₁F₂|=|F₂A|，
∵過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦點F₂的直線y=$\sqrt{3}$（x-c），
∴A（2c，$\sqrt{3}$c），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
∴4c²b²-3a²c²=a²b²，
∴4c²（c²-a²）-3a²c²=a²（c²-a²），
∴4e⁴-8e²+1=0
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．