Question

7．如圖，梯形ABCD中，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，且AF=BF=BC=1，$DE=\sqrt{2}$，現(xiàn)將△ABF，△CDE分別沿BF與CE翻折，使點A與點D重合，點O為AC的中點，設(shè)面ABF與面CDE相交于直線l，
（Ⅰ）求證：l∥CE；
（Ⅱ）求證：OF⊥面ABE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得CE∥BF，由線面平行的判定定理得到CE與平面ABF平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得到l∥CE；
（Ⅱ）利用兩個等腰直角三角形的邊長相等，則斜邊相等，得到BE與平面ACF的兩條相交直線垂直，得到BE⊥平面ACF，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ACF⊥平面ABE，進一步只要判斷OF與交線AG垂直即可．

解答 證明：（Ⅰ）$\left.\begin{array}{l}CE∥BF\\ CE?面ABF\\ BF?面ABF\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}CE∥面ABF\\ CE?面ACE\\ 面ABF∩面ACE=l\end{array}\right\}⇒l∥CE$．…（6分）
（Ⅱ）∵AF=BF=1，并且AF⊥BF，
∴△ABF為等腰直角三角形，∴AB=AE=$\sqrt{2}$；
設(shè)正方形BCEF對角線交點為G，
∴$\left.\begin{array}{l}AG⊥BE\\ CF⊥BE\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}BE⊥面ACF\\ BE?面ABE\end{array}\right\}⇒面ACF⊥面ABE，交線為AG$①
$\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}AF=EF=1\\ AE=\sqrt{2}\end{array}\right\}⇒\left.\begin{array}{l}AF⊥FE\\ AF⊥BF\end{array}\right\}⇒AF⊥面BCEF\end{array}$，
在Rt△AFC中，連接OG，得$OG∥AF且OG=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}$，
且$\left.\begin{array}{l}OF=OC⇒∠OFC=∠OCF=θ，tanθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ Rt△AFG中，tan∠FAG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒∠FGA=\frac{π}{2}-θ\end{array}\right\}$$⇒∠FGA+∠OFG=\frac{π}{2}⇒OF⊥AG$②
結(jié)合①②得，即 OF⊥面ABE．　…（13分）

點評 本題考查了線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運用，屬于中檔題．