Question

12．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=1，k=2時，分別有$S=\frac{1}{3}和S=\frac{2}{5}$．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令${b_n}={3^n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由循環(huán)結(jié)構(gòu)可得：${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$，S_k=2=$\frac{1}gme0u0q$$（\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}）$，解出即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）由循環(huán)結(jié)構(gòu)可得：${S_{K=1}}=\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}w2yqicw（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+d}）$，${S_{k=2}}=\frac{1}sy0k0ku（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+d}}+\frac{1}{{{a_1}+d}}-\frac{1}{{{a_1}+2d}}）=\frac{1}mk2yyiu（\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_1}+2d}}）=\frac{2}{5}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=-1\\ d=-2\end{array}\right.$（舍去），則a_n=1+（n-1）2=2n-1．
（2）${T_n}=3×1+{3^2}×3+…+{3^{n-1}}（2n-3）+{3^n}（2n-1）$，
$3{T_n}={3^2}×1+{3^3}×3+…+{3^n}（2n-3）+{3^{n+1}}（2n-1）$，
則$2{T_n}=-3-2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）+…+{3^{n+1}}（2n-1）={3^{n+1}}（2n-1）+\frac{{3（{3^n}-1）}}{2}$，
∴${T_n}=3+（n-1）{3^{n+1}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．