Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2}{bx+1}$+a是偶函數(shù)．
（1）若在定義域上f（x）≥ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2mx+2m-a-1，若方程g（x）=0在（-1，2）上有且只有一正實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)偶函數(shù)的定義得出：$\frac{2}{-bx+1}$=$\frac{2}{bx+1}$恒成立，再運用判別式求a的取值范圍；
（2）先分離參數(shù)m得，-2m=[（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2]，x∈（-1，2），再結合雙勾函數(shù)的圖象，得出m的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即x²+$\frac{2}{-bx+1}$+a=x²+$\frac{2}{bx+1}$+a，
所以，$\frac{2}{-bx+1}$=$\frac{2}{bx+1}$，
即-bx+1=bx+1對任意實數(shù)x恒成立，
所以，b=0，則f（x）=x²+a+2，
不等式f（x）≥ax可寫成，x²-ax+a+2≥0恒成立，
所以，△=a²-4a-8≤0，解得，a∈[2-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$]，
即實數(shù)a的取值范圍為：[2-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$]；
（2）由（1）得，g（x）=x²+2mx+2m+1，
因為，x∈（-1，2），所以，x+1∈（0，3），
則令g（x）=0并分離參數(shù)m得，
-2m=$\frac{x^2+1}{x+1}$=$\frac{（x+1）^2-2（x+1）+2}{x+1}$
=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，x∈（-1，2），
記g（x）=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，圖象如右圖，
要使方程：-2m=g（x）在（-1，2）上有且只有一正實數(shù)根，
則-2m∈[g（1），g（2））∪{g（$\sqrt{2}$-1）}，
即-2m∈[1，$\frac{5}{3}$）∪{2$\sqrt{2}$-2}，
解得，m∈（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$]∪{1-$\sqrt{2}$}，
故實數(shù)m的取值范圍為：（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$]∪{1-$\sqrt{2}$}．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應用，以及不等式恒成立問題和方程有解問題的解法，考查了二次函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．