Question

11．平面直角坐際系O-xy中，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$（其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分別為x軸y軸正方向上的單位向量），有下列命題：
①若|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|=1，則|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|的最小值為3；
②若x＞0，y＞0且|$\overrightarrow{m}$-4$\overrightarrow{j}$|=|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$|，則${\;}^{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}}$的最小值為2$\sqrt{2}$；
③若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{i}$|=4，則|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的最大值為3；
④設(shè)$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{ON}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，若$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$（其中α+β=1），若向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{i}$且|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$+3$\overrightarrow{j}$|，
則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為①③④．

Answer 1

分析 對(duì)于①，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的計(jì)算得到|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|表示點(diǎn)（2，2）到圓（x+2）²+（y-2）²=1的距離，即可求出最小值；
對(duì)于②，根據(jù)向量模的計(jì)算得到x+2y=3，再由基本不等式即可求出最小值；
對(duì)于③，根據(jù)向量模的計(jì)算得到橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的表示橢圓上點(diǎn)到（1，0）的距離，即可求出最大值；
對(duì)于④，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的條件，以及向量模的計(jì)算，得到y(tǒng)=-$\frac{1}{12}$x²，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線．

解答 解：對(duì)于①，|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分別為x軸y軸正方向上的單位向量，
∴$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$=（x，y），
∴|（x+2）$\overrightarrow{i}$+（y-2）$\overrightarrow{j}$|=1，
∴（x+2）²+（y-2）²=1，
∴|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|²=（x-2）²+（y-2）²，
即表示點(diǎn)（2，2）到圓（x+2）²+（y-2）²=1的距離，
其最小距離為3，故①正確，
對(duì)于②|$\overrightarrow{m}$-4$\overrightarrow{j}$|=|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$|，
則x²+（y-4）²=（x+2）²+y²，
即x+2y=3，
則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{3}$（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≥$\frac{1}{3}$（3+2$\sqrt{2}$）=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故②不正確；
對(duì)于③|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{i}$|=4，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+1）+{y}^{2}}$=4，
表示為點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（1，0）與（-1，0）的距離之和為4，
即而點(diǎn)（x，y）橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的上的點(diǎn)，
則|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的表示橢圓上點(diǎn)到（1，0）的距離，最大值為3，故③正確，
對(duì)于④設(shè)$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{ON}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$（其中α+β=1），
∴$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$=α（-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$）+β（2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$）=（-α+2β）$\overrightarrow{i}$+3（α+β）$\overrightarrow{j}$=（-α+2β）$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$=（-α+2β-x）$\overrightarrow{i}$+（3-y）$\overrightarrow{j}$，
∵向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{i}$，
∴-α+2β-x=0，
∵|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$+3$\overrightarrow{j}$|=|（x$\overrightarrow{i}$+（y+3）$\overrightarrow{j}$|
∴（-α+2β-x）²+（3-y）²=x²+（y+3）²，
即y=-$\frac{1}{12}$x²，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，故④正確，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)表示及向量的模的計(jì)算公式，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，圓錐曲線的定義，基本不等式綜合性較強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)覆蓋廣闊，屬于難題．