Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sin（2x+$\frac{π}{6}$）cosx），$\overrightarrow$=（sinxsin（2x+$\frac{π}{6}$），2cosx），定義函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）函數(shù)的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積的定義先求出函數(shù)f（x）的解析式，即可求出當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（3）求出g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可寫出g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2sinx，sin（2x+$\frac{π}{6}$）cosx）•（sinxsin（2x+$\frac{π}{6}$），2cosx）
=2sin²xsin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²xsin（2x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[2sin（-$\frac{π}{3}$），2sin$\frac{π}{2}$]，
即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
即f（x）函數(shù)的值域是[-$\sqrt{3}$，2]；
（2）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z；
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）g（x）=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
則對(duì)應(yīng)的圖象為：
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，即函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，即函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)和求解，以及三角函數(shù)性質(zhì)的考查，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．