Question

15．株洲市某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登石峰山健身的活動(dòng)，有N人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知[35，40）之間的參加者有8人．
（1）求N和[30，35]之間的參加者人數(shù)N₁；
（2）已知[30，35）和[35，40）之間各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)教師的概率？
（3）組織者從[45，50）之間的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和均值．

Answer 1

分析 （1）先求出年齡在[35，40）之間的概率，由此能求出總?cè)藬?shù)和年齡在[30，35）之間的志愿者人數(shù)．
（2）先求出從年齡在[30，35）之間選出的人中至少有2名數(shù)學(xué)教師的概率，再求出從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師的概率，由此能求出兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)教師的概率．
（3）ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和均值．

解答 解：（1）年齡在[35，40）之間的概率為0.04×5=0.2，
所以總?cè)藬?shù)$N=\frac{8}{0.2}=40$，
因?yàn)?-（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3
所以年齡在[30，35）之間的志愿者人數(shù)為40×0.3=12…4分
（2）記事件B=從年齡在[30，35）之間選出的人中至少有2名數(shù)學(xué)教師
因?yàn)槟挲g在[30，35）之間的人數(shù)為12，所以$P（B）=1-\frac{{{C_{10}}^2}}{{{C_{12}}^2}}=\frac{7}{22}$
記事件C=從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師
因?yàn)槟挲g在[35，40）之間的人數(shù)為8，所以$P（C）=1-\frac{{{C_6}^2}}{{{C_8}^2}}=\frac{13}{28}$
則兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)教師的概率P（A）=$\frac{7}{22}•\frac{13}{28}$=$\frac{13}{88}$．
（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，ξ的可能取值為1，2，3
P（$P（ξ=1）=\frac{{{C_4}^1{C_2}^2}}{{{C_6}^3}}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=2）=\frac{{{C_4}^2{C_2}^1}}{{{C_6}^3}}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=3）=\frac{{{C_4}^3}}{{{C_6}^3}}=\frac{1}{5}$，
所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3
p	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

均值Eξ=1•$\frac{1}{5}$+2•$\frac{3}{5}$+3•$\frac{1}{5}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．