Question

14．如圖所示，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2$\sqrt{3}$，VC=1，線段AB的中點(diǎn)為D．
（Ⅰ）求證：平面VCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出VD⊥AB，VD=1，CD⊥AB，CD=1，從而AB⊥平面VCD，由此能證明平面VCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）由AB⊥平面VCD，得三棱錐V-ABC的體積等于三棱錐A-VCD與B-VCD的體積之和，由此能求出三棱錐V-ABC的體積．

解答 證明：（Ⅰ）如圖所示：
∵VA=VB=2，AB=2$\sqrt{3}$，D為AB的中點(diǎn)，
∴VD⊥AB，VD=$\sqrt{V{A}^{2}-A{D}^{2}}$=1．
同理CD⊥AB，CD=1，CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又∵AB?平面ABC，∴平面VCD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB⊥平面VCD，
∴三棱錐V-ABC的體積等于三棱錐A-VCD與B-VCD的體積之和．
∵VC=VD=CD=1，
∴△VCD的面積為：
${S}_{△VCD}=\frac{1}{2}×VD×CD×sin∠VDC$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐V-ABC的體積為：
V_V-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△VCD}×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．