Question

10．如果實數(shù)x，y滿足（x+2）²+y²=3，則$\frac{y}{x}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{y}{x}$=k，$\frac{y}{x}$的最大值就等于連接原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合法的方式，易得答案

解答 解：設(shè)$\frac{y}{x}$=k，則y=kx表示經(jīng)過原點的直線，k為直線的斜率．
所以求$\frac{y}{x}$的最大值就等價于求同時經(jīng)過原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，
如圖示：
從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且與圓相切，
此時的斜率就是其傾斜角∠EOC的正切值．
易得|OC|=2，|CE|=r=$\sqrt{3}$，可由勾股定理求得|OE|=1，
于是可得到k=tan∠EOC=$\frac{|CE|}{|OE|}$=$\sqrt{3}$，即為$\frac{y}{x}$的最大值．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．