6．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且4sin2$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{23}{9}$．求cosB．

分析 利用三角形內角和定理把已知的等式變形，化為關于cosB的一元二次方程得答案．

解答 解：由4sin2$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{23}{9}$，得$4si{n}^{2}（\frac{π}{2}-\frac{B}{2}）-co{s}^{2}B=\frac{23}{9}$，
即$4co{s}^{2}\frac{B}{2}-co{s}^{2}B=\frac{23}{9}$，∴2（1+cosB）-$co{s}^{2}B=\frac{23}{9}$，
整理得：9cos2B-18cosB+5=0，解得cosB=$\frac{1}{3}$或cosB=$\frac{5}{3}$（舍）．

點評 本題考查三角形的解法，訓練了三角形內角和定理的應用，是基礎的計算題．

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