Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cos2x+sin²x-4cosx．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{π}{3}$代入到f（x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可；
（2）利用同角三角函數(shù)間的基本關系把sin²x變?yōu)?-cos²x，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式把cos2x變?yōu)?cos²x-1，得到f（x）是關于cosx的二次函數(shù)，利用配方法把f（x）變成二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)cosx的值域，利用二次函數(shù)求最值的方法求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{3}$）=2cos$\frac{2π}{3}$+sin²$\frac{π}{3}$-4cos$\frac{π}{3}$=-1+$\frac{3}{4}$-2=-$\frac{9}{4}$；
（2）f（x）=2（2cos²x-1）+（1-cos²x）-4cosx
=3cos²x-4cosx-1
=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{7}{3}$，x∈R，
因為cosx∈[-1，1]，
所以當cosx=$\frac{2}{3}$時，取最小值-$\frac{7}{3}$．

點評 本題主要考查了學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及二倍角的余弦函數(shù)公式化間求值，此題以三角函數(shù)為平臺，考查二次函數(shù)求最值的方法，屬于中檔題．