Question

18．點(diǎn)A、B、C是拋物線y²=4x上不同的三點(diǎn)，若點(diǎn)F（1，0）滿足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABF面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)出A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出直線AB與x軸交于點(diǎn)D（m，0），進(jìn)一步求出m，根據(jù)幾何位置關(guān)系表示出三角形的面積，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識求出最值，則答案可求．

解答 解：拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），準(zhǔn)線方程：x=-1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），直線AB與x軸交于點(diǎn)D（m，0），
∵$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{0-{y}_{1}}{m-{x}_{1}}$，∴m=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$
∵點(diǎn)F（1，0）滿足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴點(diǎn)F是△ABC重心，
∴x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
∴y₁²+y₂²=12-y₃²，y₁+y₂=-y₃，
∴2y₁y₂=（y₁+y₂）²-（y₁²+y₂²）=2y₃²-12
∴S_△ABF²=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$）²（y₁-y₂）²=$\frac{1}{64}$（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$y₃²）²（24-3y₃²）
令y₃²=t≥0，y=（-2+t）²（8-t）
令y′=0，則t₁=2，t₂=6．
當(dāng)t∈（0，2）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)t∈（2，6）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，t∈（6，+∞）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減且當(dāng)t=0時(shí)y=$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=6時(shí)y=$\frac{3}{2}$，
∴y_max=$\frac{3}{2}$．
∴△ABF面積的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是求出△ABF面積．