Question

17．△ABC的邊長為AB=a，∠BAC=30°，D為BC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BD}$=a²，則|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{5}$a．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)AC=m，求出$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式列方程解出m．

解答 解：以AC所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（m，0），
∵AB=a，∠BAC=30°，∴B（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{a}{2}$）．∴D（$\frac{\sqrt{3}a+2m}{4}$，$\frac{a}{4}$）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}a+2m}{4}$，$\frac{a}{4}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{2m-\sqrt{3}a}{4}$，-$\frac{a}{4}$）．
∵$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BD}$=a²，∴$\frac{\sqrt{3}a+2m}{4}$×$\frac{2m-\sqrt{3}a}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$=a²，解得m=$\sqrt{5}$a．
∴|$\overrightarrow{AC}$|=AC=$\sqrt{5}a$．
故答案為：$\sqrt{5}$a．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)法是常用的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．