Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x

．
（1）求證：用定義證明函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接利用增函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（2）由a-

1

2x

＜2x構(gòu)造函數(shù)h(x)=2x+

1

2x

，求h（x）在（1，+∞）上的最小值即可．

解答： （1）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，有f(x2)-f(x1)=-

1

2x2

+

1

2x1

=

2x2-2x1

4x1x2

，
∵2x₂-2x₁＞0，4x₁x₂＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在（0，∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由題意a-

1

2x

＜2x在（1，∞）上恒成立，設(shè)h(x)=2x+

1

2x

，
則h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可證h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增． 故a≤h（1），即a≤

5

2

，
∴a的取值范圍為（-∞，

5

2

]．-------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．