Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
（1）求證：OD∥面PAB；
（2）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，求直線PA與BC所成角的余弦值；
（3）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得OD∥AP，由此能證明OD∥面PAB．（
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出直線PA與BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）不妨設(shè)OB=2，則AO=OC=2，AB=BC=2$\sqrt{2}=kPA$，G（x，y，z）為△PBC的重心，假設(shè)點(diǎn)O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC，由此利用向量法能求出當(dāng)k=1時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，
∴OD∥AP，
∵OD?平面ABP，AP?平面ABP，
∴OD∥面PAB．（5分）．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，不妨設(shè)OB=2，則OA=OC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AP=4$\sqrt{2}$，∴OP=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2$\sqrt{7}$），

∴$\overrightarrow{PA}$=（0，-2，-2$\sqrt{7}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2$\sqrt{7}$）．
設(shè)直線PA與BC所成角為α，
cosα=|cos＜$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{-4}{\sqrt{32}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$，
∴直線PA與BC所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
（Ⅲ）不妨設(shè)OB=2，則AO=OC=2，AB=BC=2$\sqrt{2}=kPA$，
∴AP=$\frac{2\sqrt{2}}{k}$，OP=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{k}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$）．
設(shè)G（x，y，z）為△PBC的重心，則G（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{3k}$）．
假設(shè)點(diǎn)O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}=-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0}\\{\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{PB}=\frac{4}{3}-\frac{8-4{k}^{2}}{3{k}^{2}}=0}\end{array}\right.$，又k＞0，解得k=1．
∴當(dāng)k=1時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查兩直線所成角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面中的射影為重心時(shí)實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真向量法的合理運(yùn)用．