Question

3．過點（$\sqrt{2}$，0）引直線l與曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率為多少．

Answer 1

分析 畫出曲線y= $\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象，數(shù)形結(jié)合分析k的取值范圍，進而表示出△AOB的面積，利用基本不等式可得答案．

解答 解：曲線y= $\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象如圖所示：

若直線l與曲線相交于A，B兩點，
則直線l的斜率k＜0，
設l：y=k（x- $\sqrt{2}$），則點O到l的距離d=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（1-4ykon54^{2}）}$•d=$\sqrt{（1-0saazqp^{2}）sqg46a0^{2}}$≤$\frac{1-lkqstpr^{2}+h9bu23c^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
當且僅當1-d²=d²，即d=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，S最最大值，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式，難度中檔．