Question

6．如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，G為線段PA上（除點(diǎn)P外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：BC∥平面GEF；
（Ⅱ） 求證：BC⊥GE；
（Ⅲ） 求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析 （I）利用三角形中位線定理可得：EF∥CB，利用線面平行的判定定理即可證明：BC∥平面GEF．
（Ⅱ）由PA⊥⊙O所在的平面，可得BC⊥PA，利用圓的直徑的性質(zhì)可得BC⊥AB，再利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明．
（III）由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，再利用圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 （I）證明：∵E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，
∴EF∥CB，EF?平面GEF，
點(diǎn)G不于點(diǎn)P重合，CB?平面GEF，
∴BC∥平面GEF．
（Ⅱ）證明：∵PA⊥⊙O所在的平面，
BC?⊙O所在的平面，
∴BC⊥PA，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AB，
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∴GE?平面PAC，∴BC⊥GE．
（III）解：在Rt△ABC中，AB=2，AB=CB，∴AB=BC=$\sqrt{2}$，
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC．
∵∠PCA=45°，
∴PA=$\sqrt{2}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}PA•AC$=1，
由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，
∴V_B-PAC=$\frac{1}{3}{S}_{△PAC}•BC$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線線、線面的位置關(guān)系、體積的計(jì)算、圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力及推理論證能力，屬于中檔題．