Question

14．2015年7月31日，國際奧委會在吉隆坡正式宣布2022年奧林匹克冬季運動會（簡稱冬奧會）在北京和張家口兩個城市舉辦，某中學為了普及奧運知識，舉行了一次奧運知識競賽，分析發(fā)現(xiàn)，成績x服從正態(tài)分布，即x～N（85，σ²）（滿分100分），已知P（x＜80）=0.2，P（x≥95）=0.1，任意選取3名考生．
（I）求抽到的3名考生成績在[80，90）、[90，95）和[95，100]內(nèi)各有1名考生的概率；
（Ⅱ）記抽到的3名同學中，成績在[80，90）的人數(shù)是ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得P（80≤ξ＜90）=1-0.2-0.2=0.6，P（90≤ξ＜95）=0.2-0.1=0.1，P（95≤ξ＜100）=0.1，由此能求出抽到的三位同學該次體能測試成績在區(qū)間[80，90），[90，95），[95，100]各有一位同學的概率．
（2）由已知得ξ服從二項分布B（3，0.6），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵P（x＜80）=0.2，P（x≥95）=0.1，
∴P（80≤ξ＜90）=1-0.2-0.2=0.6，
P（90≤ξ＜95）=0.2-0.1=0.1，
P（95≤ξ＜100）=0.1，
∴抽到的3名考生成績在[80，90）、[90，95）和[95，100]內(nèi)各有1名考生的概率：
p=${A}_{3}^{3}×0.6×0.1×0.1$=0.036．
（Ⅱ）∵抽到的3名同學中，成績在[80，90）的人數(shù)是ξ，P（80≤ξ＜90）=0.6，
∴ξ～B（3，0.6），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（0.4）^{3}$=0.064，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×0.6×（0.4）^{2}$=0.288，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×（0.6）^{2}×0.4$=0.432，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}×（0.6）^{3}$=0.216，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

Eξ=3×0.6=1.8．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機就是的分布列和數(shù)學期望的合理運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．