Question

8．設(shè)G為△ABC的重心，過G作直線l分別交線段AB，AC（不與端點(diǎn)重合）于P，Q．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=μ$\overrightarrow{AC}$
（1）求$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值；
（2）求λ•μ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）使用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{PG}$，根據(jù)P，Q，G三點(diǎn)共線得出λ，μ的關(guān)系；
（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范圍，則λμ可表示為關(guān)于λ的函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于M，則M是BC的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．
又$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}$=$μ\overrightarrow{AC}-λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1}{3}-λ$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
∵P，G，Q三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)t，使$\overrightarrow{PG}$=t$\overrightarrow{PQ}$，即（$\frac{1}{3}-λ$）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$μt\overrightarrow{AC}-λt\overrightarrow{AB}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}-λ=-λt}\\{\frac{1}{3}=μt}\end{array}\right.$，兩式相除消去t得1-3λ=-$\frac{λ}{μ}$，即$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}=3$．
（2）∵1-3λ=-$\frac{λ}{μ}$，∴$μ=\frac{λ}{3λ-1}$，
∵λ，μ∈（0，1），∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜λ＜1}\\{0＜\frac{λ}{3λ-1}＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜λ＜1$．∴$1＜\frac{1}{λ}＜2$．
∴λμ=$\frac{{λ}^{2}}{3λ-1}$=$\frac{1}{\frac{3}{λ}-\frac{1}{{λ}^{2}}}=\frac{1}{-（\frac{1}{λ}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$．
∴當(dāng)$\frac{1}{λ}=\frac{3}{2}$時(shí)，λμ取得最小值$\frac{4}{9}$，當(dāng)$\frac{1}{λ}=1$或2時(shí)，λμ取得最大值$\frac{1}{2}$．
∴λμ的取值范圍是[$\frac{4}{9}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，不等式的解法，根據(jù)圖形尋找向量的關(guān)系是關(guān)鍵．