Question

16．已知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[-5，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$=0，則$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；根據(jù)定義比較f（x₁）-f（x₂）與0的大小即可；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[-5，-1]上單調(diào)遞增，從而計(jì)算可得答案．

解答 解：由f（x）=2x+$\frac{1}{x}$知$f′（x）=2-\frac{1}{{x}^{2}}$，
（1）令f′（x）=0，則$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)$x＞\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
證明如下：對(duì)任意的x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
有f（x₁）-f（x₂）=2x₁$+\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$
=2（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=2（x₁-x₂）-$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（2-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$≤1，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$]上單調(diào)遞增，
從而函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上單調(diào)遞增，
所以在此區(qū)間上，f（x）_max=f（-1）=$2×（-1）+\frac{1}{-1}$=-3，
f（x）_min=f（-5）=$2×（-5）+\frac{1}{-5}$=$-\frac{51}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用導(dǎo)數(shù)、定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．