Question

7．函數(shù)y=$\frac{3sinx+1}{3sinx-1}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用分式的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=$\frac{3sinx+1}{3sinx-1}$=$\frac{3sinx-1+2}{3sinx-1}$=1+$\frac{2}{3sinx-1}$，
由3sinx-1≠0得sinx≠$\frac{1}{3}$，
∵-1≤sinx≤1且sinx≠$\frac{1}{3}$，
∴-3≤3sinx≤3且3sinx≠1，
∴-4≤3sinx-1≤2且3sinx-1≠0，
即-4≤3sinx-1＜0或0＜3sinx-1≤2，
則$\frac{1}{3sinx-1}$≤$-\frac{1}{4}$或$\frac{1}{3sinx-1}$≥$\frac{1}{2}$，
即y≤$-\frac{1}{4}$或y≥$\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用分式函數(shù)的性質(zhì)利用分子常數(shù)化以及利用三角函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．