Question

12．若函數(shù)f（x）=2sin²x-cos²$\frac{x}{2}$在區(qū)間[0，π]有α，β兩個零點，則sin（α+β）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)f（x）的零點，再利用兩角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²x-cos²$\frac{x}{2}$=2（1-cos²x）-$\frac{1+cosx}{2}$=-（2cos²x+$\frac{1}{2}$cosx）+$\frac{3}{2}$ 
=-2（cos²x+$\frac{1}{4}$cosx）+$\frac{3}{2}$=-2•${（cosx+\frac{1}{8}）}^{2}$+$\frac{49}{32}$，
令f（x）=0，求得cosx=$\frac{3}{4}$，或cosx=-1，
∴函數(shù)的零點為x=arccos$\frac{3}{4}$，x=π，可以認為 α=arccos$\frac{3}{4}$，β=π，
∴cosα=$\frac{3}{4}$，cosβ=-1，sinα=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，sinβ=0．
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$•（-1）+$\frac{3}{4}$•0=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，求函數(shù)的零點，兩角和的正弦公式，屬于中檔題．