Question

9．直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞0，b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知拋物線D：y=x²+$\frac{1}{4}$，點(diǎn)M在拋物線D上運(yùn)動(dòng)，直線l：y=x+m（m∈[-$\sqrt{2}$，-1]）交橢圓C于點(diǎn)N，P，求△MNP面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線x-2y+2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（-2，0），（0，1），即可得出a，b，可得橢圓方程．
（2）對于確定的一條直線l，作與l平行且與拋物線相切的直線n，直線n與拋物線相切的切點(diǎn)為M，此時(shí)△MNP面積為最�。�設(shè)直線n的方程為：y=x+n，與橢圓方程聯(lián)立得到：${x}^{2}-x-n+\frac{1}{4}$=0，令△=0，解得n=0．直線l與直線n的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{-m}{\sqrt{2}}$．由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：5x²+8mx+4m²-4=0，設(shè)N（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|NP|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．S_△MNP=$\frac{1}{2}$|NP|•d，根據(jù)m的取值范圍即可得出．

解答 解：（1）直線x-2y+2=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（-2，0），（0，1），
∴a=2，b=1．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）對于確定的一條直線l，作與l平行且與拋物線相切的直線n，直線n與拋物線相切的切點(diǎn)為M，此時(shí)△MNP面積為最�。�
設(shè)直線n的方程為：y=x+n，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{y={x}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，得到：${x}^{2}-x-n+\frac{1}{4}$=0，
則△=1-4$（\frac{1}{4}-n）$=0，解得n=0．
直線l與直線n的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{-m}{\sqrt{2}}$．
設(shè)N（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：5x²+8mx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
則|NP|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{2[64{m}^{2}-20（4{m}^{2}-4）]}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$．
∴S_△MNP=$\frac{1}{2}$|NP|•d=$\frac{1}{2}•$$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$×$\frac{-m}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5{m}^{2}-{m}^{4}}$
=$\frac{2}{5}\sqrt{-（{m}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$，
∵$m∈[-\sqrt{2}，-1]$，∴m²∈[1，2]．
∴當(dāng)m²=1時(shí)，（S_△MNP）=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線與拋物線相切問題、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．