Question

20．如圖，已知圓G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B，過橢圓外一點（m，0）（m＞a）且傾斜角為$\frac{5}{6}$π的直線l交橢圓于C，D兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=0，求m的值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)題意可求得F，B的坐標(biāo)，求得c和b，進而求得a，則橢圓的方程可得；
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用判別式大于0求得m的范圍，設(shè)出C，D的坐標(biāo)，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用直線方程求得y₁y₂，表示出$\overrightarrow{FC}$和$\overrightarrow{FD}$，運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程計算即可得到所求值．

解答 解：（1）圓G：x²+y²-2x-$\sqrt{2}$y=0過點F、B，
∴F（2，0），B（0，$\sqrt{2}$），即有c=2，b=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{6}$，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-m），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x-m）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，
消y得2x²-2mx+（m²-6）=0，
由△＞0⇒-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$，
又m＞$\sqrt{6}$⇒$\sqrt{6}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$，
y₁y₂=$\frac{1}{3}$x₁x₂-$\frac{1}{3}$m（x₁+x₂）+$\frac{1}{3}$m²=$\frac{{m}^{2}-6}{6}$，
$\overrightarrow{FC}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{FD}$=（x₂-2，y₂），
∴$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-6}{2}$-2m+4+$\frac{{m}^{2}-6}{6}$=0，
化簡為m（m-3）=0，
解得m=0（舍去）或m=3，
故m=3．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意韋達定理的運用，考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力．