Question

16．已知{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$，{b_n}為等差數(shù)列，b₃=a₃-2，b₁₃=a₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，求得a₁=1，當n≥2時，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$，與原式相減求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，{a_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比為3，可知a_n=3^n-1，由b₃=a₃-2，b₁₃=a₄．根據(jù)等差數(shù)列的性質求得即可求得{b_n}的通項公式；
（2）由（1）可知a_nb_n=3^n-1×（2n+1），采用乘以公比“錯位相減法”即可求得T_n．

解答 解：（I） 當n=1，a₁=$\frac{3}{2}$a₁-$\frac{1}{2}$，
∴a₁=1，
當n≥2時，S_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$，S_n-1=$\frac{3}{2}$a_n-1-$\frac{1}{2}$，
兩式相減得：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
∴{a_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比為3，
a_n=3^n-1，…（4分）
b₃=a₃-2=7，b₁₃=a₄=3³=27，
∴$d=\frac{{{b_{13}}-{b_3}}}{13-3}=2$，
b_n=b₃+（n-3）d=2n+1，
b_n=2n+1．…（6分）
（II）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
=1×3+3×5+3²×7+…+3^n-1×（2n+1），
3T_n=3×3+3²×5+3³×7+…+3^n-1×（2n-1）+3ⁿ×（2n+1），
兩式相減得：-2T_n=3+3×2+3²×2+…+3^n-1×2-3ⁿ×（2n+1），…（8分）
=3+2×$\frac{3-{3}^{n}}{1-3}$-3ⁿ×（2n+1），
=3ⁿ-3ⁿ×（2n+1），
=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．…（12分）

點評 本題考查等差及等比通項公式及前n項和公式，考查“錯位相減法”求前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．