16.已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn=$\frac{3}{2}$an-$\frac{1}{2}$,{bn}為等差數(shù)列,b3=a3-2,b13=a4
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求Tn

分析 (1)當(dāng)n=1時(shí),求得a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=$\frac{3}{2}$an-1-$\frac{1}{2}$,與原式相減求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3,{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為3,可知an=3n-1,由b3=a3-2,b13=a4.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得即可求得{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)可知anbn=3n-1×(2n+1),采用乘以公比“錯(cuò)位相減法”即可求得Tn

解答 解:(I) 當(dāng)n=1,a1=$\frac{3}{2}$a1-$\frac{1}{2}$,
∴a1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=$\frac{3}{2}$an-$\frac{1}{2}$,Sn-1=$\frac{3}{2}$an-1-$\frac{1}{2}$,
兩式相減得:an=$\frac{3}{2}$an-$\frac{3}{2}$an-1,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3,
∴{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為3,
an=3n-1,…(4分)
b3=a3-2=7,b13=a4=33=27,
∴$d=\frac{{{b_{13}}-{b_3}}}{13-3}=2$,
bn=b3+(n-3)d=2n+1,
bn=2n+1.…(6分)
(II)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,
=1×3+3×5+32×7+…+3n-1×(2n+1),
3Tn=3×3+32×5+33×7+…+3n-1×(2n-1)+3n×(2n+1),
兩式相減得:-2Tn=3+3×2+32×2+…+3n-1×2-3n×(2n+1),…(8分)
=3+2×$\frac{3-{3}^{n}}{1-3}$-3n×(2n+1),
=3n-3n×(2n+1),
=-2n•3n,
∴Tn=n•3n.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差及等比通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,考查“錯(cuò)位相減法”求前n項(xiàng)和,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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