Question

2．設(shè)a＞0，b＞0，若用x表示a和$\frac{{a}^{2}+^{2}}$中的較小者（a與$\frac{{a}^{2}+^{2}}$相等時，x=$\frac{{a}^{2}+^{2}}$），試問：x是否存在最大值？如果存在，求出最大值及存在最大值的條件．

Answer 1

分析 求出x的函數(shù)式，由x≤a，x≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}$，運用不等式的性質(zhì)和基本不等式，即可得到所求最值．

解答 解：由題意可得x=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤\frac{{a}^{2}+^{2}}}\\{\frac{{a}^{2}+^{2}}，a＞\frac{{a}^{2}+^{2}}}\end{array}\right.$，
由于x≤a，x≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}$，
可得x²≤$\frac{ab}{{a}^{2}+^{2}}$，
由a²+b²≥2ab，
可得$\frac{ab}{{a}^{2}+^{2}}$≤$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取得最大值．
即有x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用定義和基本不等式及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．