Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x（x＞0）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，2]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）運用導(dǎo)數(shù)求得大于0，即可得證；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上遞增，計算即可得到最值．

解答 解：（1）證明：f（x）=x-log${\;}_{\frac{1}{2}}$x（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=1-$\frac{1}{xln\frac{1}{2}}$＞0，
即有f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{4}$，2]上遞增，
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，f（x）取得最小值，且為$\frac{1}{4}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$；
x=2時，f（x）取得最大值，且為2-$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=2+1=3．

點評 本題考查喊話說的單調(diào)性的證明和運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．