Question

17．設(shè)偶函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，且當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，f（x）=4x，則f（5.5）=（　�。�

• A． 10
• B． -10
• C． $\frac{1}{10}$
• D． -$\frac{1}{10}$

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)周期進(jìn)行化簡(jiǎn)得f（5.5）=f（-0.5），再根據(jù)奇偶性和條件將-0.5轉(zhuǎn)化到區(qū)間[-3，-2]上，代入解析式可求出所求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
則f（x+6）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期為6，
∴f（5.5）=f（6-0.5）=f（-0.5）=-$\frac{1}{f（2.5）}$，
又∵偶函數(shù)f（x），
當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，有f（x）=4x，
∴f（5.5）=-$\frac{1}{4×（-2.5）}$=$\frac{1}{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，要特別利用好題中有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$的關(guān)系式．在解題過(guò)程中，條件f（x+a）=-$\frac{1}{f（x）}$通常是告訴我們函數(shù)的周期為2a．屬于中檔題．