Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，1），以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：b=c，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）分類(lèi)討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$恒為定值即可求得m的值，求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值及M點(diǎn)坐標(biāo)；
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A（-1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），則m=-$\frac{7}{4}$時(shí)，求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值及M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由圓的方程x²+y²=b²，由橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則b=c，
∴a²=2b²，
將（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：b²=2，則a²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），
當(dāng)直線(xiàn)k的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x+1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
則y₁y₂=k（x₁+1）×k（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=k²（$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+1）=-$\frac{3{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=[$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$-m×（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+m²]+（-$\frac{3{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
=$\frac{2{k}^{2}-4+4m{k}^{2}+{m}^{2}+2{m}^{2}{k}^{2}-3{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{（2{m}^{2}+4m-1）{k}^{2}+{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$為定值，
則$\frac{2{m}^{2}+4m-1}{2}$=$\frac{{m}^{2}-4}{1}$，解得：m=-$\frac{7}{4}$，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{15}{16}$，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k不存在時(shí)，點(diǎn)A（-1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
此時(shí)，當(dāng)m=-$\frac{7}{4}$時(shí)，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（-1-m）（-1-m）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{16}$，
綜上可知：存在點(diǎn)M（-$\frac{7}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{15}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．