Question

17．已知函數(shù)f（x）滿足對于任意x＞0，都有f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{2}{xlna}$（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的極值；
（2）設f（x）的導函數(shù)為f′（x），試比較f（x）與f′（x）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用方程組思想，求出f（x）的解析式，再利用導數(shù)，求f（x）的極值；
（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結論．

解答 解：（1）∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{2}{xlna}$①
∴f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=-log_ax+$\frac{1}{xlna}$+$\frac{2x}{lna}$，②
由①②可得f（x）=-log_ax+$\frac{x}{lna}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{xlna}$+$\frac{1}{lna}$=0，
∴x=1，
a＞1時，x=1取得極小值$\frac{1}{lna}$；0＜a＜1時，x=1取得極大值$\frac{1}{lna}$；
（2）設h（x）=-log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{1}{xlna}$-$\frac{1}{lna}$，
則h′（x）=-$\frac{1}{xlna}$+$\frac{1}{lna}$-$\frac{1}{{x}^{2}lna}$=$\frac{{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}lna}$，
a＞1時，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$取得極小值，h（x）≥h（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）＞0，∴f（x）＞f′（x）；
0＜a＜1時，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$取得極大值，h（x）≤h（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）＜0，∴f（x）＜f′（x）．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關鍵，屬于中檔題．