Question

3．已知拋物線(xiàn)C：y²=4x的交點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=x-1與C相交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=2（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)相交于M，N兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB與MN的中點(diǎn)相同，則雙曲線(xiàn)E離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 將直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB的中點(diǎn)D，將直線(xiàn)方程代入漸近線(xiàn)方程，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，則$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=3，即可求得a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

解答 解：由題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)D，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+1=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=6，
x_D=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，則y_D=x_D-1=3，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D（3，2）．
直線(xiàn)y=x-1與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x聯(lián)立，可得M（$\frac{a}{a-b}$，$\frac{a-b}$），
與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，可得N（$\frac{a}{a+b}$，-$\frac{a+b}$），
∴線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，$\frac{^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵線(xiàn)段AB與MN的中點(diǎn)相同，
∴$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=3，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．