Question

7．如圖，梯形AOBC的頂點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形AOEC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AO∥BC，且直線BC經(jīng)過(guò)E（2，0），用待定系數(shù)法求出BE的解析式為y=x-2，再求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，
（2）把y=$\frac{3}{x}$與y=x組成方程組，求出A點(diǎn)坐標(biāo)．根據(jù)勾股定理求出OA、BC的長(zhǎng)度，易求梯形AOBC的高，從而求出梯形AOBC的面積．△OBE是等腰直角三角形，腰長(zhǎng)是2，易求其面積．再根據(jù)四邊形AOEC的面積=梯形AOBC的面積-三角形OBE的面積即可算出答案．

解答 解：（1）因?yàn)锳O∥BC，上底邊OA在直線y=x上，
則可設(shè)BE的解析式為y=x+b，
將E（2，0）代入上式得，b=-2，
BE的解析式為y=x-2．
把y=1代入y=x-2，得x=3，C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
則反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$；
（2）將y=$\frac{3}{x}$與y=x組成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{3}$，x=-$\sqrt{3}$（負(fù)值舍去）．
代入y=x得，y=$\sqrt{3}$，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
OA=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
BC交y軸于M，M（0，-2），
MC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)（0，-2），E（2，0），
∴ME=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)BE邊上的高為h，
2$\sqrt{2}$h×$\frac{1}{2}$=2×2×$\frac{1}{2}$，
解得：h=$\sqrt{2}$，
則梯形AOMC高為：$\sqrt{2}$，
梯形AOMC面積為：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）=3+$\sqrt{3}$，
△OME的面積為：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
則四邊形AOEC的面積為3+$\sqrt{3}$-2=1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)、勾股定理、以及三角形面積、梯形面積，關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式，梯形AOBC的高．